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分形几何:从宝塔菜花说起

发布时间:2019-01-10 11:01 来源:工大在线字号:T|T

  宝塔菜花

  分形几何艺术图

  宝塔菜花(也称“罗马花椰菜”)是一种长相奇特的蔬菜,含有丰富的维生素及矿物质,具有强身健体之功效,并具有很高的经济价值。有趣的是,宝塔菜花由很多螺旋形小花组成,并以花球中心对称成对排列,十分具有对称美。它的结构属于分形几何,蕴含着自相似性,由于这一特殊性质,让很多科学家为之着迷。

  分形几何创立于20世纪70年代,研究的是广泛存在于自然界和人类社会中的,没有特征尺度却有自相似结构的复杂形状和现象,与旨在研究人为设计的直线、圆、正方体等规则几何形体的传统欧氏几何不同。在自然界中,“云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周”,分形几何无疑是一门颇有发展前途的数学新分支学科。

  自然界的众多形状都是不规则和支离破碎的。在对这些形状的认识面前,传统欧氏几何显得苍白无力。对于大自然的这种挑战,2000多年来,一代代数学家为之上下求索,探寻从欧氏几何体系中解放出来的道路。终于在1975年,曼德布罗特发表了被视为分形几何创立的标志性专著《分形:形、机遇和维数》。从此,一门崭新的数学分支学科——分形几何学跻身于现代数学之林。

  经过40多年的开拓和发展,分形研究不但在数学、哲学、物理学、经济学、语言学、计算机科学等领域一展身手,甚至在电影、美术和书法等艺术领域得到广泛应用,对现代科学产生了至为深远的影响。美国物理学大师约翰·惠勒说:“可以相信,明天谁不熟悉分形,谁就不能被认为是科学上的文化人!”

  由于不规则现象在自然界普遍存在,分形几何成为描述大自然较普遍现象的一门几何学。正如中国著名学者周海中所言:“分形几何不仅展示了数学之美,也揭示了世界的本质,从而改变了人们理解自然奥秘的方式;可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。”

  虽被誉为描述大自然的几何学,分形几何的本质却是一种新的世界观和方法论。它承认世界的局部可能在一定条件下或过程中,在某方面表现出与整体的相似性。此外,与传统几何学的研究对象为整数维数相比,分形几何学的研究对象为分数维数,如0.54、1.26、2.78,等等——它反映了复杂形体占有空间的有效性,是复杂形体不规则性的量度。顺带一提,分数维数是科学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。事实上,分形几何更加趋近复杂系统的真实属性和状态描述,更加符合客观事物的多样性和复杂性。

  而分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、结构、功能、能量、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性,即自相似性。自相似性原理的引入使分形理论成为研究不规则形体的有力工具。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,如此不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变——有点像我们平时所说的“窥一斑而知全豹”。

  分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,让人们重新审视这个世界——世界是非线性的,分形无处不在。这不仅可以改写对现实世界的理解,也会加深人们对自然界中各种复杂现象的认知。

  值得一提的是,分形几何还对文化领域产生了重要影响。例如,上世纪70年代后期,分形艺术十分流行。尤其是曼德布罗特的集合图,形成了一种文化符号,被大量印制在文化衫、帆布包等日用品上。世界顶级科学期刊《自然》曾评选出“2009年度十大科学图片”,由数学“极客”丹尼尔·怀特运用计算机绘制出来的曼德布罗特集合三维图位居第三。分形艺术中优美丰富的图形还可以应用到各种布局设计中,如舞台设计、园林设计、建筑设计、器型设计等。分形艺术以一种全新的艺术风格使人们认识到,这一艺术和传统艺术一样,具有和谐、对称等美学特征。可以说,分形几何搭起了科学与艺术的桥梁,也展示了当代文化艺术的风貌。

  (作者系英国华威大学博士后)

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